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title: "123. Best Time to Buy and Sell Stock III"
url: "https://laigary.com/interview/coding/123-best-time-to-buy-and-sell-stock-iii"
type: "note"
section: "coding"
date: "2023-01-29"
updated: "2026-07-26"
tags: ["Dynamic Programming", "Classic"]
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# 123. Best Time to Buy and Sell Stock III

[123\. Best Time to Buy and Sell Stock III](https://leetcode.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/)

最多可以完成**兩筆**交易，求最大獲利。

## 思路

**這一題改的旋鈕是「交易次數 = 2」。** 完整的狀態機和其他五題的對照見 [股票買賣家族模板](/interview/coding/stock-template)。

`k = 2` 是個尷尬的數字：比 [121](/interview/coding/121-best-time-to-buy-and-sell-stock) 的 1 多、又不像 [122](/interview/coding/122-best-time-to-buy-and-sell-stock-ii) 的無限那樣可以把維度整個丟掉。所以貪心不能用了 —— 「把所有上漲區段吃下來」在只能交易兩次時是錯的。

因為只有兩次，可以**把狀態機直接展開成四個變數**，不必開陣列：

```text
firstBuy    第一次買進後的最大獲利（是負的，因為只花錢還沒賺）
firstSell   第一次賣出後的最大獲利
secondBuy   第二次買進後的最大獲利
secondSell  第二次賣出後的最大獲利  ← 答案
```

關鍵是這條鏈的順序：**`secondBuy` 是從 `firstSell` 出發的**。也就是「第二次買進時，我口袋裡的錢是第一次交易賺完之後的餘額」。這一句話就是整題的核心：

$$
\textit{secondBuy} = \max(\textit{secondBuy},\; \textit{firstSell} - price)
$$

把四個變數想成一條流水線，錢從 `firstBuy` 一路流到 `secondSell`，每一站都取「維持現狀」和「往前推進」的較大值。

**為什麼可以在同一輪迴圈裡依序更新？** 因為 `firstSell` 用的是同一輪剛算好的 `firstBuy`，等於允許「今天買、今天賣」—— 那筆交易獲利 0，不會讓答案變大，所以無害。這個特性讓四行可以直接寫在一起。

## 解題方向

$$
\text{Final Profit} = (\text{Initial Profit} - \text{Buying Price}) + \text{Selling Price}
$$

這個式子是理解那條流水線的關鍵：**每一次買進，都是從「上一階段累積的獲利」裡扣錢**，而不是從 0 開始。

```python
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        firstBuy, firstSell = float('-inf'), 0
        secondBuy, secondSell = float('-inf'), 0

        for price in prices:
            firstBuy = max(firstBuy, -price)
            firstSell = max(firstSell, firstBuy + price)
            secondBuy = max(secondBuy, firstSell - price)
            secondSell = max(secondSell, secondBuy + price)

        return secondSell
```

`firstBuy = max(firstBuy, -price)` 是「從 0 出發買進」，所以是 `-price`；`secondBuy = max(secondBuy, firstSell - price)` 是「從第一次交易的獲利出發買進」。**兩者的差別就是那條流水線。**

兩個 `Buy` 都初始化成 `-inf`，因為「還沒開始就持有股票」不是合法狀態。

四行的順序不能亂：`firstBuy → firstSell → secondBuy → secondSell`，因為每一行都依賴上一行。

## 補充

**這題也可以用 [188. Stock IV](/interview/coding/188-best-time-to-buy-and-sell-stock-iv) 的通解跑 `k=2`**，那是比較穩的作法 —— 四個變數的版本很漂亮，但一時想不起順序時，寫通解一定不會錯。

**整個家族的對照**見 [股票買賣家族模板](/interview/coding/stock-template)。這題和 [188](/interview/coding/188-best-time-to-buy-and-sell-stock-iv) 是同一組（`k` 有限），188 就是把這四個變數換成兩個長度 `k` 的陣列。

## 複雜度

- 時間 $O(n)$ — 一趟迴圈，每天做四次常數計算
- 空間 $O(1)$ — 只有四個變數

其中 `n` 是天數。

寫成 `k=2` 的通解則是 $O(nk) = O(2n) = O(n)$ 時間、$O(k) = O(1)$ 空間 —— **同一個量級**，所以選哪一種只是可讀性的取捨，不影響效能。